15 Ray Tracing 3 BRDF

Basic Radiometry 辐射度量学基础

Irradiance

Definition: Power pur unit area.
$E (x) \equiv \frac{d Φ_{⊥} (x)}{d A} = \frac{Φ}{A} c o s θ$
单位面积上接收到的能量

Radiance

Definition: Power pur unit solid angle pur unit area
$L (p, ω) \equiv \frac{d^{2} Φ (p, ω)}{d ω d A c o s θ}$
单位立体角单位面积上接收到的能量
Radiance 对单位立体角积分，就是Irradiance:
$E_{i} (ω_{i}) = L_{i} (ω_{i}) c o s θ_{i} d ω_{i}$

Bidirectional Reflectance Distribution Function (BRDF)

Reflection at a Point 光在一个点的反射

可以理解成，从外界来的Irradiance，光线打到一个位置，之后散射成各个方向的Radiance。
怎么控制这些Radiance的值，就需要我们的BRDF了

BRDF 双向反射分布函数

如和把这个小块(point)里面接收到的Irradiance，分配到各个方向成为Radiance。
$f (ω_{i} \to ω_{r}) = \frac{d L_{r} (ω_{r})}{d E_{i} (ω_{i})} = \frac{d L_{r} (ω_{r})}{L_{i} (ω_{i}) c o s θ_{i} d ω_{i}}$
本质上决定了物体表面的材质问题

The Reflection Equation

$L_{r} (p, ω_{r}) = \int_{H^{2}} (f (ω_{i} \to ω_{r}) L_{i} (ω_{i}) c o s θ_{i}) d ω_{i}$

The Rendering Equation (add the emisson light)

$L_{r} (p, ω_{r}) = L_{e} (p, ω_{o}) + \int_{H^{2}} (f (ω_{i}, ω_{r}, ω_{r}) L_{i} (p, ω_{i}) c o s θ_{i}) d ω_{i}$
点光源、面光源，积分项对应改变。加上递归之后，关于一个像素点的光，用算子的形式可以表达为
$L = E + K E + K^{2} E + K^{3} E + \dots$
每个term，依次是直接光照、反射一次、两次、三次……等等等。也就是全局光照的概念。